Teoremi sui limiti

grafico-weierstrass

1. Teorema di unicità del limite

in breve… “se il limite esiste allora è unico!”

IO ADORO QUESTO TEOREMA!!! 

… perché se TU esisti allora sei UNICO!

Ricordalo sempre!!

LA TUA FORZA E’ L’UNICITA’!!!

Ed anche per il limite di una funzione è lo stesso…

Scopri perché guardando la lezione:

teorema di unicità del limite

(ipotesi, tesi, significato geometrico e dimostrazione)

 

2. Teorema della permanenza del segno

in breve… “In un intorno di x0 la funzione assume lo stesso segno del suo limite”

Scopri perché seguendo la lezione:

Teorema della permanenza del segno

(ipotesi, tesi, significato geometrico e dimostrazione)

3. Teorema dei due carabinieri

(o del confronto o del sandwich)

Un interessantissimo teorema sui limiti e precisamente uno dei teoremi del confronto.

Il soprannome è legato al suo significato geometrico:

Se due funzioni g(x) e h(x)  tendono ad l per x tendente ad x0 allora anche la funzione f(x) tra loro compresa,  è costretta a tenderci“.

Nel mondo il teorema è conosciuto anche come Teorema del sandwich!

Scopri perché seguendo la lezione:

Il teorema dei due carabinieri o del sandwich

(ipotesi, tesi, significato geometrico e dimostrazione)

4. Teoremi del confronto 

confronto

Altri interessantissimi teoremi sui limiti che fanno parte dei teoremi del confronto.

Questa volta il confronto è tra i limiti di due funzioni: f(x)  minore o uguale a g(x).

I loro enunciati sono molto semplici:

  1. Se f(x) tende ad l e g(x) tende a m allora anche l è minore uguale ad m
  2. Se f(x) tende a più infinito  allora anche g(x) deve  tendere a più infinito  (“facile: se la funzione più piccola tende a più infinito allora dovrà tenderci anche la più grande!”)
  3. Se g(x) tende a meno infinito  allora anche f(x) deve  tendere a meno infinito  (“facile: se la funzione più grande tende a meno infinito allora dovrà tenderci anche la più piccola!”)

se vuoi saperne di più guarda il video:

teoremi del confronto


 5. Continuità e discontinuità

E’ arrivato il momento di introdurre il concetto di funzione continua: in breve,

una funzione è continua in un punto di ascissa x0

se 

esiste finito il limite di f(x) per x tendente ad x0

allora,

il valore di questo limite è uguale proprio ad f(x0).

Con parole più semplici in genere si dice che: “se una funzione è continua in un insieme X, allora il suo grafico è tale da poterlo tracciare senza staccare le penna dal foglio, ovvero non ha interruzioni“.

E’ possibile classificare tre tipi differenti di discontinuità:

1° specie: se limite destro e sinistro sono finiti ma diversi tra loro

2° specie: se almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) è infinito o non esiste 

3° specie: se il limite per x tendente a x0 esiste ed è finito MA o non esiste il valore della funzione in x0 oppure se esiste, non coincide con il valore del limite

per saperne di più guarda il video:

continuità e discontinuità

 

…seguiranno esempi…. work in progress…

Ci veworkinprogress1diamo nel futuro…

scarica il file della lezione: continuita-e-discontinuita

civediamonelfuturo2

 


6. Teoremi sulle funzioni continue

Le funzioni continue godono di alcuni teoremi importanti.

weierstrass

In breve il teorema di Weierstrass afferma che: “se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato di estremi a e b, allora è dotata di massimo e minimo assoluto“.

grafico-weierstrassIl suo significato è semplice da comprendere:

dire che una funzione è continua equivale a dire che non ha interruzioni e, se è continua in un intervallo chiuso e limitato allora in questo intervallo non può tendere all’infinito, cioè non può assumere valori infinitamente grandi o infinitamente piccoli; quindi è necessario che  la funzione abbia, in questo intervallo, un valore massimo ed un valore minimo m.

guarda il video per saperne di più: 

teoremi sulle funzioni continue

 

darboux

Nelle stesse ipotesi del teorema di Weierstrass le funzioni continue verificano il teorema di Darboux (di esistenza dei valori intermedi) che afferma che: “se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato di estremi a e b, allora assume tutti i valori compresi tra il massimo e minimo assoluto“.

zeri

In particolare, il teorema di esistenza degli zeri afferma che: “se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato, ed assume agli estremi a e b  valori di segno opposto, allora il grafico della funzione deve intersecare l’asse x in aumento un punto, ovvero la funzione deve assumere il valore zero in almeno un punto c“.

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