1. Teorema di unicità del limite
in breve… “se il limite esiste allora è unico!”
IO ADORO QUESTO TEOREMA!!!
… perché se TU esisti allora sei UNICO!
Ricordalo sempre!!
LA TUA FORZA E’ L’UNICITA’!!!
Ed anche per il limite di una funzione è lo stesso…
Scopri perché guardando la lezione:
(ipotesi, tesi, significato geometrico e dimostrazione)
2. Teorema della permanenza del segno
in breve… “In un intorno di x0 la funzione assume lo stesso segno del suo limite”
Scopri perché seguendo la lezione:
Teorema della permanenza del segno
(ipotesi, tesi, significato geometrico e dimostrazione)
3. Teorema dei due carabinieri
(o del confronto o del sandwich)
Un interessantissimo teorema sui limiti e precisamente uno dei teoremi del confronto.
Il soprannome è legato al suo significato geometrico:
“Se due funzioni g(x) e h(x) tendono ad l per x tendente ad x0 allora anche la funzione f(x) tra loro compresa, è costretta a tenderci“.
Nel mondo il teorema è conosciuto anche come Teorema del sandwich!
Scopri perché seguendo la lezione:
Il teorema dei due carabinieri o del sandwich
(ipotesi, tesi, significato geometrico e dimostrazione)
4. Teoremi del confronto
Altri interessantissimi teoremi sui limiti che fanno parte dei teoremi del confronto.
Questa volta il confronto è tra i limiti di due funzioni: f(x) minore o uguale a g(x).
I loro enunciati sono molto semplici:
- Se f(x) tende ad l e g(x) tende a m allora anche l è minore uguale ad m
- Se f(x) tende a più infinito allora anche g(x) deve tendere a più infinito (“facile: se la funzione più piccola tende a più infinito allora dovrà tenderci anche la più grande!”)
- Se g(x) tende a meno infinito allora anche f(x) deve tendere a meno infinito (“facile: se la funzione più grande tende a meno infinito allora dovrà tenderci anche la più piccola!”)
se vuoi saperne di più guarda il video:
5. Continuità e discontinuità
E’ arrivato il momento di introdurre il concetto di funzione continua: in breve,
una funzione è continua in un punto di ascissa x0
se
esiste finito il limite di f(x) per x tendente ad x0
allora,
il valore di questo limite è uguale proprio ad f(x0).
Con parole più semplici in genere si dice che: “se una funzione è continua in un insieme X, allora il suo grafico è tale da poterlo tracciare senza staccare le penna dal foglio, ovvero non ha interruzioni“.
E’ possibile classificare tre tipi differenti di discontinuità:
1° specie: se limite destro e sinistro sono finiti ma diversi tra loro
2° specie: se almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) è infinito o non esiste
3° specie: se il limite per x tendente a x0 esiste ed è finito MA o non esiste il valore della funzione in x0 oppure se esiste, non coincide con il valore del limite
per saperne di più guarda il video:
…seguiranno esempi…. work in progress…
Ci ve
diamo nel futuro…
scarica il file della lezione: continuita-e-discontinuita
6. Teoremi sulle funzioni continue
Le funzioni continue godono di alcuni teoremi importanti.
In breve il teorema di Weierstrass afferma che: “se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato di estremi a e b, allora è dotata di massimo e minimo assoluto“.
Il suo significato è semplice da comprendere:
“dire che una funzione è continua equivale a dire che non ha interruzioni e, se è continua in un intervallo chiuso e limitato allora in questo intervallo non può tendere all’infinito, cioè non può assumere valori infinitamente grandi o infinitamente piccoli; quindi è necessario che la funzione abbia, in questo intervallo, un valore massimo ed un valore minimo m.“
guarda il video per saperne di più:
teoremi sulle funzioni continue
Nelle stesse ipotesi del teorema di Weierstrass le funzioni continue verificano il teorema di Darboux (di esistenza dei valori intermedi) che afferma che: “se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato di estremi a e b, allora assume tutti i valori compresi tra il massimo e minimo assoluto“.
In particolare, il teorema di esistenza degli zeri afferma che: “se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato, ed assume agli estremi a e b valori di segno opposto, allora il grafico della funzione deve intersecare l’asse x in aumento un punto, ovvero la funzione deve assumere il valore zero in almeno un punto c“.
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