GONIOMAGIA 3 (triangoli)

La più efficace ed interessante applicazione della goniometria la troviamo in geometria!! Incredibile: è possibile creare uno stretto legame tra i lati e gli angoli di un triangolo. Lo scopriremo in queste tre sorprendenti lezioni!

Sommario

Modulo 3 Unità 1: triangoli rettangoli

M3 Unità 2: area di un triangolo e teorema della corda

M3 Unità 3: Teorema dei seni (Eulero) e del coseno ( Carnot)

Unità 1: triangoli rettangoli

Teoremi

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I teoremi sui triangoli rettangoli si ricavano facilmente utilizzando le definizioni di seno coseno e tangente

Dalle prime due definizioni ricaviamo i primi due teoremi, che creano una bellissima relazione tra un cateto e l’ipotenusa:

relazione tra cateto e ipotenusa (seno dell’angolo opposto e coseno dell’angolo compreso)

Dalla definizione di tangente e ricordando che gli archi complementari si scambiano i valori di tangente e cotangente, otteniamo una relazione tra i due cateti del triangolo rettangolo:


Unità 2: area di un triangolo e teorema della corda

Utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli è facile determinare una nuova formula per trovare l’area di un triangolo qualsiasi: il semi prodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso.

Area di un triangolo

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Attraverso questo risultato sono facili dedurre due nuove formule per determinare l’area del parallelogramma e del rombo

Area del parallelogramma e del rombo

Ricordando che in una circonferenza, gli angoli che insistono su una stessa corda sono tutti congruenti tra loro, perché congruenti a metà del corrispondente angolo al centro:

Angoli alla circonferenza

Si dimostra facilmente l’importantissimo teorema della corda, secondo il quale una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza che insiste sulla corda:

Teorema della corda

Unità 3: teorema dei seni (Eulero) e del coseno (o di Carnot)

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Attraverso il teorema della corda, è facile dimostrare il teorema dei seni (o di Eulero) che mette in relazione lati e angoli di un triangolo qualsiasi

Teorema dei seni

Applicheremo il teorema dei seni, ogni volta che in un triangolo qualsiasi conosciamo un lato e l’angolo opposto ed un terzo elemento.

Se invece conosciamo due lati e l’angolo compreso, applicheremo il teorema del coseno o di Carnot:

Teorema di Carnot

Il teorema di Carnot rappresenta una vera e propria generalizzazione del teorema di Pitagora.

Infine, attraverso il teorema di Carnot è possibile determinare gli angoli di un triangolo qualsiasi, conoscendo i tre lati:

Formula inversa del teorema di Carnot

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