I teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange e la regola di De Hopital sono famosissimi e richiestissimi in tutti gli esami e in tutte le interrogazioni!!!
Devi assolutamente conoscerli!!!
Allora cosa aspetti?
guarda subito il video di presentazione
presentazione teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange
Lezione 1
Enunciati, significato geometrico e dimostrazione
Iniziamo subito dal …
Teorema di Fermat
Il teorema di Fermat afferma una cosa semplicissima:
“Se una funzione è derivabile in un punto c di massimo o minimo relativo, allora in quel punto la derivata deve necessariamente essere zero!!“…
… e lo sai perché?
Perché se in un punto di massimo o minimo relativo, la tangente al grafico esiste allora deve necessariamente essere orizzontale!!
utilizzando il teorema di Fermat è possibile dimostrare il prossimo teorema:
Teorema di Rolle
Il teorema di Rolle afferma una cosa importantissima:
“Se una funzione verifica tre ipotesi: 1) è continua in un intervallo chiuso e limitato di estremi a e b; 2) è derivabile nell’intervallo aperto di estremi a e b; 3) assume gli stessi valori agli estremi a e b; allora (tesi) deve esistere almeno un punto c appartenente all’intervallo aperto di estremi a e b, in cui la derivata è zero!!“…
… sembra complicato vero? …ma se lo rileggi con attenzione non lo è affatto!!!
… e sai qual è il suo significato geometrico?
Semplice: se una funzione verifica le ipotesi del teorema di Rolle allora deve esistere almeno un punto in cui la tangente al grafico esiste è orizzontale!!
Devi sempre ricordare che la derivata di una funzione in un punto di ascissa c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto!
Adesso, se lo visualizzi è sicuramente più semplice:
.. Tutto chiaro?
Possiamo passare al più contorto …
Teorema di Cauchy
Attenzione alla sua pronuncia!!
Questa volta si considerano due funzioni f(x) e g(x) che verificano le prime due ipotesi del teorema di Rolle, ed in particolare altre due ipotesi per la funzione g(x)… ma proviamo a visualizzarlo subito…
Un pò più semplice, vero?
Coscì Coscì… (… si potrebbe rispondere… )
Per imparare le due ipotesi aggiuntive basta analizzare bene la tesi... ad esempio g(a) deve essere diversa da g(b) perché altrimenti si annullerebbe il denominatore..
E ricorda: questo teorema non ha un suo significato geometrico, ma è importante perché serve a dimostrare altri teoremi, come ad esempio il più famoso:
Teorema di Lagrange
Molto simile al teorema di Rolle..
… cambia solo la terza ipotesi… questa volta non è necessario che la funzione assuma gli stessi valori agli estremi a e b…
… ebbene in questo caso (tesi) deve esistere almeno un punto c appartenente all’intervallo aperto di estremi a e b, in cui la retta tangente al grafico è parallela alla retta secante congiungente gli estremi A e B“…
… e questo è proprio il suo significato geometrico…
Proviamo subito a visualizzarlo:
Adesso però prova a capire anche le dimostrazioni di questi quattro teoremi…
Scarica il file in PDF
u1-modulo-3-fermat-rolle-lagrange-cauchy-dimostrazioni
Guarda subito i video su YouTube
dimostrazione dei teoremi di Fermat e Rolle
dimostrazione dei teoremi di Cauchy e Lagrange
Lezione 2
Esercizi sui teoremi di Rolle e Lagrange
A questo punto puoi passare agli esercizi… non sono così difficili…
.. Hai una funzione ed un intervallo chiuso e limitato!! Devi solo verificare delle tre ipotesi dei due teoremi (Rolle e Lagrange)… si tratta solo di determinare il dominio della funzione (per stabilirne la continuità), la derivata della funzione (per stabilirne la derivabilità) ed infine devi confrontare i valori che la funzione assume agli estremi…
Ecco qui alcuni esercizi interessanti:
Guarda il video su YouTube con la spiegazione
esercizi svolti sui teoremi di Rolle Lagrange e Cauchy
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u2-bis-modulo-3-altri-esercizi-sui-teoremi-di-rolle-lagrange-e-cauchy
Guarda altri video su YouTube su esercizi svolti
esercizi sul teorema di Lagrange
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u2-modulo-3-esercizi-sui-teoremi-di-rolle-e-lagrange-3
Lezione 3
Regola di De Hopital
Il teorema di De Hopital è davvero una “figata”!!!
Si può dire?
L’ho detto!!
E’ proprio uno di quei casi in cui puoi proprio dire: “a saperlo prima!!”
Grazie alla regola di De L’Hopital, se conosci le regole di derivazione (e sottolineo se), il calcolo del limite, nel caso di una forma indeterminata, può diventare veramente facile.
Curioso vero?
Ecco qui la regola:
Derivando numeratore e denominatore si può ottenere un limite più semplice e risolvere la forma indeterminata… e nel caso in cui si ottiene ancora una forma indeterminata, si può continuare ad utilizzare De L’Hopital.
Guarda subito il video di presentazione su YouTube
Presentazione della Regola di De L’Hopital
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de-hopital-presentazione
Ecco qui alcuni esempi di esercizi svolti
Guarda subito il video su YouTube
Regola di De Hopital (prima parte)
Tuttavia si possono presentare dei casi più complessi… ma quello che ti occorre è solo tanto esercizio… ecco qui un piccolo schema dei casi più difficili:
Ed ecco altri esercizi svolti (più difficili!!!) riguardanti queste ultime forme indeterminate:
Guarda il secondo video su YouTube
Regola di De Hopital (esercizi più difficili)
Scarica il file in PDF
u3-modulo-3-regola-di-de-hopital
Matematica a colori per tutti 
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