Teoremi di Fermat Rolle Cauchy e Lagrange e regola di De Hopital

I teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange e la regola di De Hopital sono famosissimi e richiestissimi in tutti gli esami e in tutte le interrogazioni!!!

Devi assolutamente conoscerli!!!

Allora cosa aspetti?

 

guarda subito il video di presentazione

 

presentazione teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange


Lezione 1

Enunciati, significato geometrico e dimostrazione

Iniziamo subito dal …

Teorema di Fermat

Il teorema di Fermat afferma una cosa semplicissima:

Se una funzione è derivabile in un punto c di massimo o minimo relativo, allora in quel punto la derivata deve necessariamente essere zero!!“…

… e lo sai perché?

Perché se in un punto di massimo o minimo relativo, la tangente al grafico esiste allora deve necessariamente essere orizzontale!!

miniatura-fermat

utilizzando il teorema di Fermat è possibile dimostrare il prossimo teorema:

Teorema di Rolle

Il teorema di Rolle afferma una cosa importantissima:

Se una funzione verifica tre ipotesi: 1) è continua in un intervallo chiuso e limitato di estremi a e b;  2) è derivabile nell’intervallo aperto di estremi a e b; 3)  assume gli stessi valori agli estremi a e b;   allora (tesi) deve esistere almeno un punto c appartenente all’intervallo aperto di estremi a e b, in cui  la derivata è zero!!“… 

… sembra complicato vero? …ma se lo rileggi con attenzione non lo è affatto!!!

… e sai qual è il suo significato geometrico? 

Semplice: se una funzione verifica le ipotesi del teorema di Rolle allora deve esistere almeno un punto in cui la tangente al grafico esiste è orizzontale!!

Devi sempre ricordare che la derivata di una funzione in un punto di ascissa c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto!

Adesso, se lo visualizzi è sicuramente più semplice:

miniatura-rolle-teorema

.. Tutto chiaro?

Possiamo passare al più contorto …

Teorema di Cauchy

Attenzione alla sua pronuncia!!

Questa volta si considerano due funzioni f(x) e g(x) che verificano le prime due ipotesi del teorema di Rolle, ed in particolare altre due ipotesi per la funzione g(x)… ma proviamo a visualizzarlo subito…

miniatura-cauchy

Un pò più semplice, vero?

Coscì Coscì…  (… si potrebbe rispondere… )

Per imparare le due ipotesi aggiuntive basta analizzare bene la tesi... ad esempio g(a) deve essere diversa da g(b) perché altrimenti si annullerebbe il denominatore..

E ricorda: questo teorema non ha un suo significato geometrico, ma è importante perché serve a dimostrare altri teoremi, come ad esempio il più famoso:

Teorema di Lagrange

Molto simile al teorema di Rolle..

… cambia solo la terza ipotesi… questa volta non è necessario che la funzione assuma gli stessi valori agli estremi a e b…

… ebbene in questo caso  (tesi) deve esistere almeno un punto c appartenente all’intervallo aperto di estremi a e b, in cui  la retta tangente al grafico è parallela alla retta secante congiungente gli estremi A e B“… 

… e questo è proprio il suo significato geometrico… 

Proviamo subito a visualizzarlo:

miniatura-lagrange

Adesso però prova a capire anche le dimostrazioni di questi quattro teoremi…

Scarica il file in PDF

u1-modulo-3-fermat-rolle-lagrange-cauchy-dimostrazioni

Guarda subito i video su YouTube

dimostrazione dei teoremi di Fermat e Rolle

dimostrazione dei teoremi di Cauchy e Lagrange


Lezione 2

Esercizi sui teoremi di Rolle e Lagrange

A questo punto puoi passare agli esercizi… non sono così difficili…

.. Hai una funzione ed un intervallo chiuso e limitato!! Devi solo verificare delle tre ipotesi dei due teoremi (Rolle e Lagrange)… si tratta solo di determinare il dominio della funzione (per stabilirne la continuità), la derivata della funzione (per stabilirne la derivabilità) ed infine devi confrontare i valori che la funzione assume agli estremi…

Ecco qui alcuni esercizi interessanti:

esercizi-lagrange

Guarda il video su YouTube con la spiegazione

esercizi svolti sui teoremi di Rolle Lagrange e Cauchy

miniatura-presentazione-teoremi

Scarica il file in PDF

u2-bis-modulo-3-altri-esercizi-sui-teoremi-di-rolle-lagrange-e-cauchy

Guarda altri  video su YouTube su esercizi svolti

esercizi sul teorema di Rolle

esercizi sul teorema di Lagrange

Scarica il file in PDF

u2-modulo-3-esercizi-sui-teoremi-di-rolle-e-lagrange-3


 Lezione 3

Regola di De Hopital

Il teorema di De Hopital è davvero una “figata”!!!

Si può dire?

L’ho detto!!

E’ proprio uno di quei casi in cui puoi proprio dire: “a saperlo prima!!”

Grazie alla regola di De L’Hopital, se conosci le regole di derivazione (e sottolineo se), il calcolo del limite, nel caso di una forma indeterminata, può diventare veramente facile.

Curioso vero?

Ecco qui la regola:

regola-de-hopital

Derivando numeratore e denominatore si può ottenere un limite più semplice e risolvere la forma indeterminata… e nel caso in cui si ottiene ancora una forma indeterminata, si può continuare ad utilizzare De L’Hopital.

Guarda subito il video di presentazione su YouTube

Presentazione della Regola di De L’Hopital

Scarica il file in PDF

de-hopital-presentazione

Ecco qui alcuni esempi di esercizi svolti

de-hopital-esercizi

Guarda subito il video su YouTube

Regola di De Hopital (prima parte)

Tuttavia si possono presentare dei casi più complessi… ma quello che ti occorre è solo tanto esercizio… ecco qui un piccolo schema dei casi più difficili:

de-hopital-2

Ed ecco altri esercizi svolti (più difficili!!!) riguardanti queste ultime forme indeterminate:

miniatura-hopital-esercizi-2

Guarda il secondo video su YouTube

Regola di De Hopital (esercizi più difficili)

miniatura-hopital

Scarica il file in PDF

u3-modulo-3-regola-di-de-hopital


Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione /  Modifica )

Google photo

Stai commentando usando il tuo account Google. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione /  Modifica )

Connessione a %s...