Derivate che passione!!

 

derivate-premessa

Le derivate sono facilissime!!!

Davvero ragazzi.

Mi piace iniziare così questo nuovo argomento!! 

Inoltre, il concetto di derivata è veramente trasversale

… nella lezione introduttiva troverai infatti riferimenti alla fisica, alla geometria analitica, alla goniometria, allo studio del grafico di una funzione.

Per questa sua trasversalità, la definizione di derivata potrebbe apparire difficile (anche perché strettamente legata al delicatissimo concetto di limite)…

Ma in realtà, una volta dimostrate le regole, il calcolo di una derivata è veramente un gioco da ragazzi!!!

Sei pronto a tuffarti nelle derivate?

Lezione 1: premessa e definizione

derivate-intro

Mi piace iniziare dalla fine e dire subito a cosa servono le derivate e dove le applicherai maggiormente….

Sai che il concetto di derivata nasce proprio dalla definizione di velocità istantanea?

Ebbene si,  la velocità istantanea è proprio la derivata dello spazio rispetto al tempo… ricorderai forse che la velocità media è il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo, se riduciamo sempre di più l’intervallo di tempo impiegato, otteniamo valori sempre più prossimi alla velocità istantanea… sfruttando il concetto di limite, possiamo dire che la velocità istantanea si ottiene facendo tendere a zero l’intervallo di tempo, e questa è proprio la definizione di derivata: il limite di un rapporto incrementale!!

Interessante vero?

Ed in fisica tante altre grandezze si possono definire tramite le derivate… l’accelerazione istantanea, l’intensità di corrente… etc….

velocita-istantanea

E in matematica? 

Vuoi conoscere le sue più importanti applicazioni?

Ebbene, la derivata viene utilizzata moltissimo per via del suo importantissimo significato geometrico:

La derivata di una funzione in un punto di ascissa x0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto”.

… questa cosa è troppo importante!!!

…quindi: fissatela bene in testa…

significato-geometrico

Grazie a questo significato geometrico, attraverso lo studio del segno della derivata di una funzione, possiamo stabilire in quali intervalli la funzione è crescente:

monotonia

e possiamo individuare eventuali punti di massimo e minimo relativo:

massimi-relativi

E tante altre applicazioni che imparerai a conoscere in queste lezioni!!!

Ma quindi, che cosa è la derivata di una funzione in un punto di ascissa x0?

E’ il limite del rapporto incrementale:

definizione-derivata

Guarda subito il primo video: 

Derivate: premessa e definizione

Scarica la lezione completa in PDF: 

derivate-modulo1-unita1


Lezione 2:  dimostrazione regole semplici

derivate-dimostrazione-1

Facili le derivate vero?

Crederci è già un bell’inizio!!!

Adesso però il gioco si fa più duro… in questa lezione, infatti, dimostriamo le  regole di derivazione tramite la definizione, ovvero attraverso il  limite del rapporto incrementale…

Niente paura.. dura poco… in tutte le altre circostanze calcoleremo le derivate direttamente utilizzando le regole….

Alcune dimostrazioni possono risultare più complicate, perché fanno riferimento a nozioni non sempre semplici ma… altre sono veramente semplici, quindi vale la pena provare a farle… possono risultare molto utili per una interrogazione orale…  

... e poi, diciamolo, è sempre bello capire perché!!! 

N.B. Se ti interessa conoscere solo il calcolo delle derivate e le loro applicazioni (ignorando le ragioni e quindi la dimostrazione delle regole), puoi serenamente saltare questa parte e passare alle lezioni successive.

Iniziamo subito con con le prime  6 regole

regole-1

La prima regola è la più facile da dimostrare; infatti, visto che la funzione è costante, il suo incremento è sempre zero, e quindi è zero anche il limite del rapporto incrementale.

Inoltre, è interessante conoscere anche la dimostrazione grafica di questa regola; ecco qui un estratto della dimostrazione:

regola-1

Facilissimo, vero?

Anche la seconda regola è facilissima da dimostrare; infatti se y=x allora l’incremento della variabile dipendente è sempre uguale all’incremento della variabile indipendente; quindi il rapporto incrementale, e di conseguenza il limite per h tendente a zero del rapporto incrementale, è sempre 1.

Anche in questo caso è interessantissima la dimostrazione grafica di questa regola; ecco qui un breve estratto:

regola-2

Semplice, vero?

Le altre 4 regole  sono un pò più difficili da dimostrare, ma non impossibili! Basta infatti trovare l’incremento della variabile dipendenteil rapporto incrementalee successivamente,  il limite per h tendente a zero del rapporto incrementale, e il gioco è fatto!!

Ed ecco qui un breve estratto della dimostrazione della regola 3:

regola-3

Non troppo difficile, vero?

Per le altre regole ti consiglio di…

Scaricare la lezione completa in PDF:

derivate-modulo1-dimostrazioni-1-u2-parte-1

e guardare subito il secondo video:

 dimostrazione derivate 1


Lezione 3:  dimostrazione regole complesse

Si può fare, vero?

Adesso possiamo occuparci delle derivate delle funzioni trascendenti, ecco qui uno schema sulle altre 4 regole:

regole-2

Le dimostrazioni di queste regole sono più difficili perché fanno riferimento sia a specifiche proprietà delle singole funzioni, sia ai limiti notevoli.

Ecco ad esempio un estratto della dimostrazione della regola numero 7:

regola8b

E questa, secondo me è la più semplice da dimostrare!!!

Pensa che, ad esempio, per dimostrare le due derivate goniometriche si possono persino richiamare le formule di prostaferesi!!!!

Niente paura, però!!!

Tutto è possibile!

Con un pò di pazienza puoi imparare anche queste dimostrazioni.

Per comprendere meglio, ti consiglio vivamente…

scarica la lezione completa in PDF:

derivate-modulo1-dimostrazioni-u2-parte-2

Guarda subito il terzo video: 

dimostrazione regole di derivazione 2

Seguendo questi ragionamenti puoi svolgere semplici esercizi sulla determinazione di una derivata utilizzando la definizione; ecco qui un piccolo estratto per comprendere meglio:

esempio


Lezione 4:  operazioni con le derivate

Si può fare, vero?

Le operazioni con le derivate non sono molto difficili, devi prestare solo un pò di attenzione alla moltiplicazione e al quoziente:

Ricorda: “la derivata del prodotto di due funzioni non è uguale al prodotto delle due derivate, ma alla derivata della prima funzione per la seconda non derivata più la derivata della seconda funzione per la prima non derivata

Analogamente: “”la derivata del rapporto tra due funzioni non è uguale al rapporto delle due derivate, ma segue un meccanismo più complesso!!

Ecco qui un breve schema:

operazioni

Per un tuo ulteriore approfondimento, puoi provare a dimostrare le operazioni utilizzando il limite del rapporto incrementale

scarica la lezione completa in PDF:

derivate-modulo-1-u2-parte-3-dimostrazione-derivata-somma-prodotto-quoziente


Lezione 5:  calcolo di una derivata semplice

Adesso viene il bello!!

Il calcolo di una derivata è davvero un gioco da ragazzi, basta conoscere le 10 regole e le quattro operazioni ed il gioco è sempre fatto…

ecco ad esempio un semplice esercizio

esercizio-derivate-semplici

Tramite la derivata del quoziente è possibile dimostrare altre due importanti regole di derivazione:

tangente

scarica la lezione completa in PDF:

derivate-modulo-1-unita-3-regole-operazioni-ed-esercizi-su-derivate-semplici

Guarda subito il quarto video (prima parte): 

esercizi sulle regole di derivazione 1

… e il quinto video (seconda parte): 

esercizi sulla derivata del prodotto e del quoziente


Lezione 6: 

Calcolo della derivata di una funzione composta

Una volta imparate le regole di derivazione semplice, puoi imparare tranquillamente le regole di derivazione delle funzioni composte, basta applicare la cosiddetta “regola a catena” (the chain rule)… ecco qui un breve formulario:

miniatura-derivate-composte

Alcuni esercizi possono risultare più complessi perché bisogna applicare più formule e quindi tener presente più regole… si procede letteralmente “a catena”… applicando una alla volta le regole di derivazione… ecco qui un esempio in cui si applicano successivamente le regole di derivazione della funzione logaritmica, della funzione radice quadratica, della funzione goniometrica sinx, e della funzione 4x :

esempio-composte

scarica la lezione completa in PDF:

derivate-modulo-1-unita-4-derivate-composte

Guarda subito il video 

regole di derivazione delle funzioni composte

esempi  di esercizi più difficili…

esercizi-derivate-composte

Vuoi sapere come si fanno?

Guarda subito il video 

esercizi più difficili su derivate composte


Lezione 7:  ultime regole

Derivata delle funzioni circolari inverse

miniatura-derivate-composte

Una derivata particolare…

miniatura-derivata-esp

Una derivata logaritmica curiosa…

miniatura-logaritmica-particolare

scarica la lezione completa in PDF:

derivate-modulo-1-unita-5-derivate-di-funzioni-circolari-inverse-e-della-funzione-fx-elevato-a-gx

Video in progress….


civediamonelfuturo

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